附录D 温差作用效应计算公式 ============================================================================== .. raw:: html

附录D 温差作用效应计算公式

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温差作用的温度梯度呈非线性变化，但梁截面变形服从平面假定，致使梁截面的温差变形在纵向纤维之间受到约束，在截面上产生自平衡的纵向约束应力，称为自应力。如图D-1所示：b)为温度梯度(无约束的自由应变图形与温度梯度同); c)为平面变形，为最终应变；d)内阴影部分为自由应变与最终应变之差，即由纤维之间的约束产生的自应力应变。

图 D-1 温度梯度计算模式
1-基轴；2-重心轴

沿梁高的自由应变(纵向纤维之间不受约束时) $ε_{t (y)}$ 与温度梯度一致，即：

$$\\varepsilon _{\\mathrm{t(y)} }=\\alpha _{c}t_{(\\mathrm{y} )}\\tag{附 D-1}$$ .. raw:: html

由于纵向纤维之间相互约束，梁截面应变应符合平面假定，梁截面上的最终应变 $ε_{f (y)}$ 应为直线分布，即：

$$\\varepsilon _{\\mathrm{f(y)} }=\\varepsilon _{0}+\\phi\\mathrm{y} \\tag{附 D-2}$$ .. raw:: html

式中:	$ε_{0}$	——	轴y=0处应变；
	$ϕ$	——	截面变形曲率；
	$y$	——	基轴以上任一点求应变的坐标；
	$α_{c}$	——	混凝土线膨胀系数。

自由应变与最终应变之差，即图D-1 d)的阴影部分，系纤维之间的约束产生，其值为：

$$\\varepsilon _{\\mathrm{\\sigma (y)} }=\\varepsilon _{\\mathrm{t(y)} }-\\varepsilon _{\\mathrm{f (y)} }=\\alpha _{\\mathrm{c} }t_{(\\mathrm{y} )}-(\\varepsilon _{0}+\\phi\\mathrm{y} )\\tag{附 D-3}$$ .. raw:: html

阴影部分的应力(自应力)为：

$$\\varepsilon _{\\mathrm{s (y)} }=E_{\\mathrm{c} }\\varepsilon _{\\sigma \\mathrm{(y)} }=E_{\\mathrm{c} }[\\alpha _{\\mathrm{c} }t_{(\\mathrm{y} )}-(\\varepsilon _{0}+\\phi\\mathrm{y} )]\\tag{附 D-4}$$ .. raw:: html

全截面上轴向力N和弯矩M

$$\\begin{array}{l}N& =E_{c}\\int_{\\mathrm{h}}\\varepsilon _{\\sigma (\\mathrm{y})}b_{\\mathrm{(y)}}d\\mathrm{y}=E_{c}\\int_{\\mathrm{h}}(\\alpha _{\\mathrm{c} }t_{(\\mathrm{y})}-\\varepsilon _{0}-\\phi _{\\mathrm{y} })b_{\\mathrm{(y)}}d\\mathrm{y}\\\\ &=E_{c}[\\alpha _{\\mathrm{c}}\\int_{\\mathrm{h}}t_{(\\mathrm{y})}b_{\\mathrm{(y)}}d\\mathrm{y}-\\varepsilon _{0}\\int_{\\mathrm{h}}b_{\\mathrm{(y)}}d\\mathrm{y}-\\phi\\int_{\\mathrm{h}}\\mathrm{y} b_{\\mathrm{(y)}}d\\mathrm{y}]\\end{array}\\tag{附 D-5}$$ $$\\small{\\begin{array}{l}M& =E_{c}\\int_{\\mathrm{h}}\\varepsilon _{\\sigma (\\mathrm{y})}b_{\\mathrm{(y)}}(\\mathrm{y-y_{c}} )d\\mathrm{y}=E_{c}\\int_{\\mathrm{h}}(\\alpha _{\\mathrm{c} }t_{(\\mathrm{y})}-\\varepsilon _{0}-\\phi _{\\mathrm{y} })b_{\\mathrm{(y)}}(\\mathrm{y-y_{c}} )d\\mathrm{y}\\\\ &=E_{c}[\\alpha _{\\mathrm{c}}\\int_{\\mathrm{h}}t_{(\\mathrm{y})}b_{\\mathrm{(y)}}(\\mathrm{y-y_{c}} )d\\mathrm{y}-\\varepsilon _{0}\\int_{\\mathrm{h}}b_{\\mathrm{(y)}}(\\mathrm{y-y_{c}} )d\\mathrm{y}-\\phi\\mathrm{y} d\\mathrm{y}]\\end{array}}\\tag{附 D-6}$$ .. raw:: html

式中:	$E_{c}$	——	混凝土材料弹性模量；
	$b_{(y)}$	——	y处的梁宽。

对于任何截面，N=0,M=0,即内力总和为零。

公式(附D-5)、(附D-6)可分别改写为：

$$\\varepsilon _{0}\\int_{\\mathrm{h}}b_{\\mathrm{(y)}}d{\\mathrm{y}}+\\phi \\int_{\\mathrm{h}}\\mathrm{y} b_{\\mathrm{(y)}}d{\\mathrm{y}}=\\alpha _{c}\\int_{\\mathrm{h}}t_{(\\mathrm{y} )}b_{(\\mathrm{y} )}d\\mathrm{y} \\tag{附 D-7}$$ $$\\varepsilon _{0}\\int_{\\mathrm{h}}b_{\\mathrm{(y)}}(\\mathrm{y-y_{c}} )d{\\mathrm{y}}+\\phi \\int_{\\mathrm{h}} b_{\\mathrm{(y)}}(\\mathrm{y-y_{c}} )\\mathrm{y}d{\\mathrm{y}}=\\alpha _{c}\\int_{\\mathrm{h}}t_{(\\mathrm{y} )}b_{(\\mathrm{y} )}(\\mathrm{y-y_{c}} )d\\mathrm{y} \\tag{附 D-8}$$ .. raw:: html

在公式(附D-7)、(附D-8)内

$$\\int_{\\mathrm{h}}b_{\\mathrm{(y)}}d{\\mathrm{y}} =A\\tag{附 D-9}$$ $$\\int_{\\mathrm{h}}\\mathrm{y}b_{\\mathrm{(y)}}d{\\mathrm{y}} =A\\mathrm{y_{c}} \\tag{附 D-10}$$ $$\\small{\\int_{\\mathrm{h}}b_{\\mathrm{(y)}}(\\mathrm{y-y_{c}} )\\mathrm{y} d_{\\mathrm{y}} =\\int_{\\mathrm{h}}b_{\\mathrm{(y)}}\\mathrm{y}^{2} d_{\\mathrm{y}}-\\int_{\\mathrm{h}}b_{\\mathrm{(y)}}\\mathrm{y}\\mathrm{y}_{\\mathrm{c}}d_{\\mathrm{y}}=I_{\\mathrm{b}}-\\int_{\\mathrm{h}}b_{\\mathrm{(y)}}\\mathrm{y}\\mathrm{y}_{\\mathrm{c}}d_{\\mathrm{y}}=I_{\\mathrm{g}}}\\tag{附 D-11}$$ $$\\int_{\\mathrm{h}}b_{\\mathrm{(y)}}(\\mathrm{y-y_{c}} )d_{\\mathrm{y}} =0(重心轴的静面积矩为零)$$ .. raw:: html

式中:	$A$	——	截面面积；
	$I_{b}$	——	截面面积对基轴(图D-1)惯性矩；
	$I_{g}$	——	—截面面积对重心轴(图D-1)惯性矩。

将公式(附D-9)～(附D-11)代入公式(附D-7)、(附D-8)内。

$$\\varepsilon _{0}A+\\phi A\\mathrm{y_{c}} =\\int_{\\mathrm{h}}t_{\\mathrm{(y)}}b_{\\mathrm{(y)}}d_{\\mathrm{y}} \\tag{附 D-12}$$ $$\\phi I_{\\mathrm{g} }=\\alpha _{c}\\int_{\\mathrm{h} }t_{(\\mathrm{y})}b_{(\\mathrm{y})}(\\mathrm{y-y_{c}})d\\mathrm{y} \\tag{附 D-13}$$ .. raw:: html

由公式(附D-12)、(附D-13)可得：

$$\\varepsilon _{0}=\\dfrac{\\alpha _{\\mathrm{c}}}{A}\\int_{\\mathrm{h}}t_{\\mathrm{(y)}}b_{\\mathrm{(y)}}d\\mathrm{y}-\\phi \\mathrm{y} _{\\mathrm{c} } \\tag{附 D-14}$$ $$\\phi =\\dfrac{\\alpha _{\\mathrm{c}}}{I_{\\mathrm{g} }}\\int_{\\mathrm{h}}t_{\\mathrm{(y)}}b_{\\mathrm{(y)}}(\\mathrm{y-y_{c}} )d_{\\mathrm{y}} \\tag{附 D-15}$$ .. raw:: html

设在坐标 $y$ 处，截面内一厚度为 $i$ 的微小单元面积 $A_{y}$ ，处温度梯度值为 $t_{y}$ ，以 $t_{y}$ 为常值代入公式(附 D-14)、(附 D-15),并注意积分区段仅在 $i$ 厚度范围内有值。因此： $\int_{h} b_{(y)} d_{y} = ϕ \int_{h} b_{(y)} d_{y} = A_{y}, t_{(y}) = t_{y}, (y - y_{c}) = e_{y}$ ，(单元面积 $A_{y}$ 对全面积重心的偏心距)。

$$\\small{\\phi =\\dfrac{\\alpha _{\\mathrm{c}}}{I_{\\mathrm{g} }}\\int_{\\mathrm{h}}t_{\\mathrm{(y)}}b_{\\mathrm{(y)}}(\\mathrm{y-y_{c}} )d\\mathrm{y} =\\dfrac{\\alpha _{\\mathrm{c}}}{I_{\\mathrm{g} }}\\int_{\\mathrm{i}}t_{\\mathrm{(y)}}b_{\\mathrm{(y)}}(\\mathrm{y-y_{c}} )d\\mathrm{y} =\\dfrac{\\alpha _{\\mathrm{c}}t_{\\mathrm{y}}A_{\\mathrm{y}}e_{\\mathrm{y}}}{I_{\\mathrm{g} }}}\\tag{附 D-16}$$ $$\\scriptsize {\\varepsilon _{0}=\\dfrac{\\alpha _{\\mathrm{c}}}{A}\\int_{\\mathrm{h}}t_{\\mathrm{(y)}}b_{\\mathrm{(y)}}d\\mathrm{y}-\\phi \\mathrm{y} _{\\mathrm{c} } =\\dfrac{\\alpha _{\\mathrm{c}}}{A}\\int_{\\mathrm{i}}t_{\\mathrm{(y)}}b_{\\mathrm{(y)}}d\\mathrm{y}-\\phi \\mathrm{y} _{\\mathrm{c} } =\\dfrac{\\alpha _{\\mathrm{c}}t_{\\mathrm{y}}A_{\\mathrm{y}}}{A}-\\dfrac{\\alpha _{\\mathrm{c}}t_{\\mathrm{y}}A_{\\mathrm{y}}e_{\\mathrm{y}}\\mathrm{y}_{\\mathrm{c} }}{I_{\\mathrm{g} }}}\\tag{附 D-17}$$ .. raw:: html

自公式(附D-4)可求得任意点应力 $σ_{s (y)}$ :

$$\\begin{align*} \\sigma _{\\mathrm{s(y)}} &=E_{\\mathrm{c}} [\\alpha _{\\mathrm{c}}t_{(\\mathrm{y})}-(\\varepsilon _{0}+\\phi _{\\mathrm{y} })]\\\\ &=E_{\\mathrm{c}}\\alpha _{\\mathrm{c}}t_{\\mathrm{y}}-\\dfrac{E_{\\mathrm{c}}\\alpha _{\\mathrm{c}}t_{\\mathrm{y}}A_{\\mathrm{y}}}{A}+\\dfrac{E_{\\mathrm{c}}\\alpha _{\\mathrm{c}}t_{\\mathrm{y}}A_{\\mathrm{y}}e_{\\mathrm{y}}\\mathrm{y} _{\\mathrm{c}}}{I_{\\mathrm{g} }}-\\dfrac{E_{\\mathrm{c}}\\alpha _{\\mathrm{c}}t_{\\mathrm{y}}A_{\\mathrm{y}}e_{\\mathrm{y}}\\mathrm{y}}{I_{\\mathrm{g} }}\\end{align*}\\tag{附 D-18}$$ .. raw:: html

如令: $N_{t i} = A_{y} t_{y} α_{c} E_{c}, M_{t i} = - N_{t i} e_{y} = - A_{y} t_{y} α_{c} E_{c} e_{y}$

$$\\sigma_{ \\mathrm{s(y)} }=-\\dfrac{N_{\\mathrm{ti} }}{A}+\\dfrac{M_{\\mathrm{ti} }}{I_{\\mathrm{g}}}(\\mathrm{y-y_{c}})+t_{\\mathrm{y} }\\alpha_{\\mathrm{c} }E_{\\mathrm{c} }\\tag{附 D-19}$$ .. raw:: html

这个公式是由于一个单元面积 $A_{y}$ ，内的温度作用，在截面任一点产生的应力；对于分为很多块单元面积上不同 $t_{y}$ ，的作用，应用分段总和法，也就是本规范附录D内的公式。在本规范附录D内， $N_{t}$ 相当于本说明 $N_{ti}$ 的总和； $M_{t}^{0}$ 相当于 $M_{ti}$ 的总和； $y$ 相当于( $y - y_{c}$ )，即附录D内的坐标以截面重心轴为准。

公式(附D-19)适用于正温差；如为反温差则整个公式前冠以负号。

本附录公式对于开裂截面，如钢筋混凝土构件或允许开裂的预应力混凝土B类构件，在计算温差作用效应时，可不考虑中性轴以下开裂截面的温度梯度。计算温差应力时采用开裂截面的重心轴、换算截面面积和惯性矩。

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