附录E 受压构件计算长度的简化计算公式 (新增)

附录E 受压构件计算长度的简化计算公式 (新增)

图 E-1 a)为理想化的偏心受压构件，端部受支座提供的转动约束和横向约束。将这些约束理想化为转动和横向弹簧，其弹簧刚度分别用$K_{\mathrm{A}}、K_{\mathrm{B}}和K_{\mathrm{F}}$，表示，如图 E-1 B)。构件弯矩、转角和侧向位移与构件刚度$K_A、K_B和K_F$，具有如下关系：

$$K_{\mathrm{A} }=\dfrac{M_{\mathrm{A} }}{\theta _{\mathrm{A} }}\tag{附 E-1}$$ $$K_{\mathrm{B} }=\dfrac{M_{\mathrm{B} }}{\theta _{\mathrm{B} }}\tag{附 E-2}$$ $$K_{\mathrm{F} }=\dfrac{M_{\mathrm{A} }+M_{\mathrm{B} }+N\Delta} {\Delta l}\tag{附 E-3}$$

图 E-1 弹性约束柱

式中，$N$为构件承受的轴力；$△$为构件两端的相对位移；$l$为构件实际长度；$M_{\mathrm{A}}$、$M_{\mathrm{B}}$分别为构件两端弯矩，其转角位移方程分别为：

$$M_{\mathrm{A}}=\dfrac{EI}{l}\left [ S_{jj}\theta _{\mathrm{A} }+S_{ij}\theta _{\mathrm{B} }-(S_{ii}+S_{ij})\dfrac{\Delta }{l} \right ] \tag{附 E-4}$$ $$M_{\mathrm{B}}=\dfrac{EI}{l}\left [ S_{ji}\theta _{\mathrm{A} }+S_{jj}\theta _{\mathrm{B} }-(S_{ji}+S_{jj})\dfrac{\Delta }{l} \right ] \tag{附 E-5}$$

式中，$S_{ii}、S_{ij}、S_{ji}$和$S_{jj}$为稳定函数，按下式计算：

$$ S_{ii}= S_{jj}=\dfrac{\lambda l\sin\lambda l-(\lambda l)^{2}\cos\lambda l}{2-2\cos\lambda l-\lambda l\sin\lambda l}\tag{附 E-6}$$ $$ S_{ij}= S_{ji}=\dfrac{(\lambda l)^{2}-\lambda l\sin\lambda l}{2-2\cos\lambda l-\lambda l\sin\lambda l}\tag{附 E-7}$$

式中，$\lambda =\sqrt{{\displaystyle \frac{N}{EI}}}$。

将式(E-4)和式(E-5)代入式(E-1)~(E-3),经简化后可得：

$$\small{\left [ \begin{matrix}S_{ii}+k_{\mathrm{A} }& S_{ij} &-(S_{ii}+S_{ij}) \\S_{ij} & S_{ii}+k_{\mathrm{B} } &-(S_{ii}+S_{ij}) \\-(S_{ii}+S_{ij})&-(S_{ii}+S_{ij})&2(S_{ii}+S_{ij})-(kl)^{2}+k_{\mathrm{F}}\end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix}\theta _{\mathrm{A} } \\\theta _{\mathrm{B} } \\\frac{\Delta }{l}\end{matrix} \right ] =\left [ \begin{matrix}0 \\0 \\0\end{matrix}\right ] }\tag{附 E-8}$$

其中，

$$k_{\mathrm{A}}=\dfrac{k_{\mathrm{A}}l}{EI},k_{\mathrm{B}}=\dfrac{k_{\mathrm{B}}l}{EI},k_{\mathrm{F}}=\dfrac{k_{\mathrm{F}}l^{3}}{EI}$$

式(E-8)可用矩阵符号表示为：

$$ KD=0\tag{附 E-9}$$

式中，K为刚度矩阵，D为变形矩阵。为求得有效解，须取：

$$\mathrm{det} \left | K \right | =0\tag{附 E-10}$$ $$ \small{即\hspace{2cm}\begin{vmatrix}S_{ii} +k_{\mathrm{A} } &S_{ij} &-(S_{ii}+S_{ij}) \\ S_{ij} & S_{ij} +k_{\mathrm{B} } &-(S_{ii}+S_{ij}) \\ -(S_{ii}+S_{ij}) & -(S_{ii}+S_{ij}) &2(S_{ii}+S_{ij})-(kl)^{2}+k_{\mathrm{F} }\end{vmatrix}=0}\tag{附 E-11}$$

整理式(E-11)，得：

$$ \small{\begin{array}{l}[k_{\mathrm{A}}+k_{\mathrm{B}}+k_{\mathrm{F}}-(\lambda l)^{2}](S_{ii}^{2}-S_{ij}^{2})+\{(k_{\mathrm{A}}+k_{\mathrm{B}})[k_{\mathrm{F}}-(\lambda l)^{2}]+2k_{\mathrm{A}}k_{\mathrm{B}}\} S_{ii}\\+2k_{\mathrm{A}}k_{\mathrm{B}}S_{ij}+k_{\mathrm{A}}k_{\mathrm{B}}[k_{\mathrm{F}}-(\lambda l)^{2}]=0\end{array}} \tag{附 E-12}$$ $$\small{即\hspace{2cm}\begin{array}{l}\left[1+\dfrac{k_{\mathrm{F}}-(\lambda l)^{2}}{k_{\mathrm{A}}+k_{\mathrm{B}}}\right](S_{ii}^{2}-S_{ij}^{2})+\left[k_{\mathrm{F}}-(\lambda l)^{2}+\dfrac{2k_{\mathrm{A}}k_{\mathrm{A}}}{k_{\mathrm{A}}+k_{\mathrm{A}}}\right]S_{ii}\\+\dfrac{2k_{\mathrm{A}}k_{\mathrm{B}}}{k_{\mathrm{A}}+k_{\mathrm{B}}}S_{ij}+\dfrac{k_{\mathrm{A}}k_{\mathrm{B}}}{k_{\mathrm{A}}+k_{\mathrm{B}}}[k_{\mathrm{F}}-(\lambda l)^{2}]=0\end{array}} \tag{附 E-13}$$

将式(E-6)和式(E-7)代入式(E-13)得：

$$\small{\begin{array}{l}\left [ 1+\dfrac{k_{\mathrm{F}}-\left(\dfrac{\pi}{k}\right)^{2}}{k_{\mathrm{A}}+k_{\mathrm{B}}} \right ] \left ( \dfrac{\pi}{k} \right )^{2} +\left [k_{\mathrm{F}} -\left ( \dfrac{\pi}{k} \right )^{2} +\dfrac{2k_{\mathrm{A}}k_{\mathrm{B}}}{k_{\mathrm{A}}+k_{\mathrm{B}}}\right ]\left ( 1-\dfrac{\pi/k}{\tan(\pi/k)} \right ) \\+\dfrac{2k_{\mathrm{A}}k_{\mathrm{B}}}{k_{\mathrm{A}}+k_{\mathrm{B}}}\left[\dfrac{\pi/k}{\sin(\pi/k)} -1\right ]+\dfrac{2k_{\mathrm{A}}k_{\mathrm{B}}}{k_{\mathrm{A}}+k_{\mathrm{B}}}\left[k_{\mathrm{F}}-\left ( \dfrac{\pi}{k} \right )^{2} \right]\left[ \dfrac{2\tan(\pi/2k)}{\pi/k}\right]=0\end{array} }\tag{附 E-14}$$

式中$\lambda l=\sqrt{{\displaystyle \frac{N}{EI}}}l=\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{N}{N_{\mathrm{e}}}}}={\displaystyle \frac{\pi }{k}}$，$k$为计算长度系数，$N_{\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{{\pi }^{2}EI}{l^2}}$ ，$N={\displaystyle \frac{{\pi }^{2}EI}{(kl{)}^2}}$。

对于一端固定、一端有转动和水平弹性约束的构件，底端固支约束，即$k_{\mathrm{F}}=\mathrm{\infty }$，式(E-14)简化为：

$$\small{\begin{array}{l}\left ( \dfrac{\pi}{k} \right )^{2} +\left [ k_{\mathrm{F}}-\left ( \dfrac{\pi}{k} \right )^{2}+2 k_{\mathrm{B}}\right ] \left ( 1-\dfrac{\pi/k}{\tan(\pi/k)} \right ) +2 k_{\mathrm{B}}\left [ \dfrac{\pi/k}{\sin(\pi/k)} -1\right ] \\+ k_{\mathrm{F}}\left [ k_{\mathrm{F}}-\left ( \dfrac{\pi}{k} \right )^{2}\right ]\left [ \dfrac{2\tan(\pi/2k)}{\pi/k}-1\right ]\end{array}}\tag{附 E-15}$$

解式(E-15)即可得到k值如下：

$$\small{k=0.5\mathrm{exp}\left[\dfrac{0.35}{1+0.6k_{\mathrm{B}}}+\dfrac{0.7}{1+0.01k^{2}_{\mathrm{F}}}++\dfrac{0.35}{(1+0.75k_{\mathrm{B}})(1+1.15k_{\mathrm{F}})}\right]}\tag{附 E-16}$$

对于一端固定、一端仅有水平弹性约束的构件，取$k_{\mathrm{B}}=0$，代入式(E-15)得

$$ \tan\left ( \dfrac{\pi}{k} \right ) =\dfrac{\pi}{k}-\dfrac{1}{k_{\mathrm{F} }}\left ( \dfrac{\pi}{k} \right )\tag{附 E-17}$$

直接对式(E-17)进行数值计算，得到：

$$k=2-\dfrac{1.3k_{\mathrm{F} }^{1.5}}{9.5+k_{\mathrm{F} }^{1.5}}\tag{附 E-18}$$

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