附录D 温差作用效应计算公式

附录D 温差作用效应计算公式

温差作用的温度梯度呈非线性变化，但梁截面变形服从平面假定，致使梁截面的温差变形在纵向纤维之间受到约束，在截面上产生自平衡的纵向约束应力，称为自应力。如图D-1所示：b)为温度梯度(无约束的自由应变图形与温度梯度同); c)为平面变形，为最终应变；d)内阴影部分为自由应变与最终应变之差，即由纤维之间的约束产生的自应力应变。

图 D-1 温度梯度计算模式
1-基轴；2-重心轴

沿梁高的自由应变(纵向纤维之间不受约束时)${\epsilon }_{\mathrm{t}(\mathrm{y})}$与温度梯度一致，即：

$$\varepsilon _{\mathrm{t(y)} }=\alpha _{c}t_{(\mathrm{y} )}\tag{附 D-1}$$

由于纵向纤维之间相互约束，梁截面应变应符合平面假定，梁截面上的最终应变${\epsilon }_{\mathrm{f}(\mathrm{y})}$应为直线分布，即：

$$\varepsilon _{\mathrm{f(y)} }=\varepsilon _{0}+\phi\mathrm{y} \tag{附 D-2}$$

式中:	${\epsilon }_0$	——	轴y=0处应变；
	$\varphi$	——	截面变形曲率；
	$\mathrm{y}$	——	基轴以上任一点求应变的坐标；
	${\alpha }_{\mathrm{c}}$	——	混凝土线膨胀系数。

自由应变与最终应变之差，即图D-1 d)的阴影部分，系纤维之间的约束产生，其值

为：</p>

$$\varepsilon _{\mathrm{\sigma (y)} }=\varepsilon _{\mathrm{t(y)} }-\varepsilon _{\mathrm{f (y)} }=\alpha _{\mathrm{c} }t_{(\mathrm{y} )}-(\varepsilon _{0}+\phi\mathrm{y} )\tag{附 D-3}$$

阴影部分的应力(自应力)为：

$$\varepsilon _{\mathrm{s (y)} }=E_{\mathrm{c} }\varepsilon _{\sigma \mathrm{(y)} }=E_{\mathrm{c} }[\alpha _{\mathrm{c} }t_{(\mathrm{y} )}-(\varepsilon _{0}+\phi\mathrm{y} )]\tag{附 D-4}$$

全截面上轴向力N和弯矩M

$$\begin{array}{l}N& =E_{c}\int_{\mathrm{h}}\varepsilon _{\sigma (\mathrm{y})}b_{\mathrm{(y)}}d\mathrm{y}=E_{c}\int_{\mathrm{h}}(\alpha _{\mathrm{c} }t_{(\mathrm{y})}-\varepsilon _{0}-\phi _{\mathrm{y} })b_{\mathrm{(y)}}d\mathrm{y}\\ &=E_{c}[\alpha _{\mathrm{c}}\int_{\mathrm{h}}t_{(\mathrm{y})}b_{\mathrm{(y)}}d\mathrm{y}-\varepsilon _{0}\int_{\mathrm{h}}b_{\mathrm{(y)}}d\mathrm{y}-\phi\int_{\mathrm{h}}\mathrm{y} b_{\mathrm{(y)}}d\mathrm{y}]\end{array}\tag{附 D-5}$$ $$\small{\begin{array}{l}M& =E_{c}\int_{\mathrm{h}}\varepsilon _{\sigma (\mathrm{y})}b_{\mathrm{(y)}}(\mathrm{y-y_{c}} )d\mathrm{y}=E_{c}\int_{\mathrm{h}}(\alpha _{\mathrm{c} }t_{(\mathrm{y})}-\varepsilon _{0}-\phi _{\mathrm{y} })b_{\mathrm{(y)}}(\mathrm{y-y_{c}} )d\mathrm{y}\\ &=E_{c}[\alpha _{\mathrm{c}}\int_{\mathrm{h}}t_{(\mathrm{y})}b_{\mathrm{(y)}}(\mathrm{y-y_{c}} )d\mathrm{y}-\varepsilon _{0}\int_{\mathrm{h}}b_{\mathrm{(y)}}(\mathrm{y-y_{c}} )d\mathrm{y}-\phi\mathrm{y} d\mathrm{y}]\end{array}}\tag{附 D-6}$$

式中:	$E_{\mathrm{c}}$	——	混凝土材料弹性模量；
	$$b_{(\mathrm{y})}$$	——	y处的梁宽。

对于任何截面，N=0,M=0,即内力总和为零。

公式(附D-5)、(附D-6)可分别改写为：

$$\varepsilon _{0}\int_{\mathrm{h}}b_{\mathrm{(y)}}d{\mathrm{y}}+\phi \int_{\mathrm{h}}\mathrm{y} b_{\mathrm{(y)}}d{\mathrm{y}}=\alpha _{c}\int_{\mathrm{h}}t_{(\mathrm{y} )}b_{(\mathrm{y} )}d\mathrm{y} \tag{附 D-7}$$ $$\varepsilon _{0}\int_{\mathrm{h}}b_{\mathrm{(y)}}(\mathrm{y-y_{c}} )d{\mathrm{y}}+\phi \int_{\mathrm{h}} b_{\mathrm{(y)}}(\mathrm{y-y_{c}} )\mathrm{y}d{\mathrm{y}}=\alpha _{c}\int_{\mathrm{h}}t_{(\mathrm{y} )}b_{(\mathrm{y} )}(\mathrm{y-y_{c}} )d\mathrm{y} \tag{附 D-8}$$

在公式(附D-7)、(附D-8)内

$$\int_{\mathrm{h}}b_{\mathrm{(y)}}d{\mathrm{y}} =A\tag{附 D-9}$$ $$\int_{\mathrm{h}}\mathrm{y}b_{\mathrm{(y)}}d{\mathrm{y}} =A\mathrm{y_{c}} \tag{附 D-10}$$ $$\small{\int_{\mathrm{h}}b_{\mathrm{(y)}}(\mathrm{y-y_{c}} )\mathrm{y} d_{\mathrm{y}} =\int_{\mathrm{h}}b_{\mathrm{(y)}}\mathrm{y}^{2} d_{\mathrm{y}}-\int_{\mathrm{h}}b_{\mathrm{(y)}}\mathrm{y}\mathrm{y}_{\mathrm{c}}d_{\mathrm{y}}=I_{\mathrm{b}}-\int_{\mathrm{h}}b_{\mathrm{(y)}}\mathrm{y}\mathrm{y}_{\mathrm{c}}d_{\mathrm{y}}=I_{\mathrm{g}}}\tag{附 D-11}$$ $$\int_{\mathrm{h}}b_{\mathrm{(y)}}(\mathrm{y-y_{c}} )d_{\mathrm{y}} =0(重心轴的静面积矩为零)$$

式中:	$A$	——	截面面积；
	$I_{\mathrm{b}}$	——	截面面积对基轴(图D-1)惯性矩；
	$I_{\mathrm{g}}$	——	—截面面积对重心轴(图D-1)惯性矩。

将公式(附D-9)～(附D-11)代入公式(附D-7)、(附D-8)内。

$$\varepsilon _{0}A+\phi A\mathrm{y_{c}} =\int_{\mathrm{h}}t_{\mathrm{(y)}}b_{\mathrm{(y)}}d_{\mathrm{y}} \tag{附 D-12}$$

$$\phi I_{\mathrm{g} }=\alpha _{c}\int_{\mathrm{h} }t_{(\mathrm{y})}b_{(\mathrm{y})}(\mathrm{y-y_{c}})d\mathrm{y} \tag{附 D-13}$$

由公式(附D-12)、(附D-13)可得：

$$\varepsilon _{0}=\dfrac{\alpha _{\mathrm{c}}}{A}\int_{\mathrm{h}}t_{\mathrm{(y)}}b_{\mathrm{(y)}}d\mathrm{y}-\phi \mathrm{y} _{\mathrm{c} } \tag{附 D-14}$$ $$\phi =\dfrac{\alpha _{\mathrm{c}}}{I_{\mathrm{g} }}\int_{\mathrm{h}}t_{\mathrm{(y)}}b_{\mathrm{(y)}}(\mathrm{y-y_{c}} )d_{\mathrm{y}} \tag{附 D-15}$$

设在坐标$\mathrm{y}$处，截面内一厚度为$i$的微小单元面积$A_{\mathrm{y}}$，处温度梯度值为$t_{\mathrm{y}}$，以$t_{\mathrm{y}}$为常值代入公式(附 D-14)、(附 D-15),并注意积分区段仅在$i$厚度范围内有值。因此：$${\int }_{\mathrm{h}}{b}_{(\mathrm{y})}{d}_{\mathrm{y}}=\varphi {\int }_{\mathrm{h}}{b}_{(\mathrm{y})}{d}_{\mathrm{y}}=A_{\mathrm{y}},t_{(\mathrm{y}})=t_{\mathrm{y}},(\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{c}})=e_{\mathrm{y}}$$，(单元面积$A_{\mathrm{y}}$对全面积重心的偏心距)。

$$\small{\phi =\dfrac{\alpha _{\mathrm{c}}}{I_{\mathrm{g} }}\int_{\mathrm{h}}t_{\mathrm{(y)}}b_{\mathrm{(y)}}(\mathrm{y-y_{c}} )d\mathrm{y} =\dfrac{\alpha _{\mathrm{c}}}{I_{\mathrm{g} }}\int_{\mathrm{i}}t_{\mathrm{(y)}}b_{\mathrm{(y)}}(\mathrm{y-y_{c}} )d\mathrm{y} =\dfrac{\alpha _{\mathrm{c}}t_{\mathrm{y}}A_{\mathrm{y}}e_{\mathrm{y}}}{I_{\mathrm{g} }}}\tag{附 D-16}$$ $$\scriptsize {\varepsilon _{0}=\dfrac{\alpha _{\mathrm{c}}}{A}\int_{\mathrm{h}}t_{\mathrm{(y)}}b_{\mathrm{(y)}}d\mathrm{y}-\phi \mathrm{y} _{\mathrm{c} } =\dfrac{\alpha _{\mathrm{c}}}{A}\int_{\mathrm{i}}t_{\mathrm{(y)}}b_{\mathrm{(y)}}d\mathrm{y}-\phi \mathrm{y} _{\mathrm{c} } =\dfrac{\alpha _{\mathrm{c}}t_{\mathrm{y}}A_{\mathrm{y}}}{A}-\dfrac{\alpha _{\mathrm{c}}t_{\mathrm{y}}A_{\mathrm{y}}e_{\mathrm{y}}\mathrm{y}_{\mathrm{c} }}{I_{\mathrm{g} }}}\tag{附 D-17}$$

自公式(附D-4)可求得任意点应力${\sigma }_{\mathrm{s}(\mathrm{y})}$:

$$\begin{align*} \sigma _{\mathrm{s(y)}} &=E_{\mathrm{c}} [\alpha _{\mathrm{c}}t_{(\mathrm{y})}-(\varepsilon _{0}+\phi _{\mathrm{y} })]\\ &=E_{\mathrm{c}}\alpha _{\mathrm{c}}t_{\mathrm{y}}-\dfrac{E_{\mathrm{c}}\alpha _{\mathrm{c}}t_{\mathrm{y}}A_{\mathrm{y}}}{A}+\dfrac{E_{\mathrm{c}}\alpha _{\mathrm{c}}t_{\mathrm{y}}A_{\mathrm{y}}e_{\mathrm{y}}\mathrm{y} _{\mathrm{c}}}{I_{\mathrm{g} }}-\dfrac{E_{\mathrm{c}}\alpha _{\mathrm{c}}t_{\mathrm{y}}A_{\mathrm{y}}e_{\mathrm{y}}\mathrm{y}}{I_{\mathrm{g} }}\end{align*}\tag{附 D-18}$$

如令:$N_{\mathrm{t}\mathrm{i}}=A_{\mathrm{y}}{t}_{\mathrm{y}}{\alpha }_{\mathrm{c}}{E}_{\mathrm{c}},M_{\mathrm{t}\mathrm{i}}=-N_{\mathrm{t}\mathrm{i}}{e}_{\mathrm{y}}=-A_{\mathrm{y}}{t}_{\mathrm{y}}{\alpha }_{\mathrm{c}}{E}_{\mathrm{c}}{e}_{\mathrm{y}}$

$$\sigma_{ \mathrm{s(y)} }=-\dfrac{N_{\mathrm{ti} }}{A}+\dfrac{M_{\mathrm{ti} }}{I_{\mathrm{g}}}(\mathrm{y-y_{c}})+t_{\mathrm{y} }\alpha_{\mathrm{c} }E_{\mathrm{c} }\tag{附 D-19}$$

这个公式是由于一个单元面积$A_{\mathrm{y}}$，内的温度作用，在截面任一点产生的应力；对于分为很多块单元面积上不同$t_{\mathrm{y}}$，的作用，应用分段总和法，也就是本规范附录D内的公式。在本规范附录D内，$N_{\mathrm{t}}$相当于本说明$N_{\mathrm{ti}}$的总和；$M_{\mathrm{t}}^0$相当于$M_{\mathrm{ti}}$的总和；$\mathrm{y}$相当于($\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{c}}$)，即附录D内的坐标以截面重心轴为准。

公式(附D-19)适用于正温差；如为反温差则整个公式前冠以负号。

本附录公式对于开裂截面，如钢筋混凝土构件或允许开裂的预应力混凝土B类构件，在计算温差作用效应时，可不考虑中性轴以下开裂截面的温度梯度。计算温差应力时采用开裂截面的重心轴、换算截面面积和惯性矩。

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